[알고리즘] 크루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)

신장 트리 (Spanning Tree)

그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.

• 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하다.

 

 

신장 트리 사용 목적

모든 노드가 연결되어 있지만 일부 간선을 사용하지 않아도 된다는 점에서 실제 문제 상황에서 효과적으로 사용될 수 있다.

 

최소 신장 트리 (MST, Minimum Spanning Tree)

• 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까요?
• 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해 봅시다.
  • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치합니다.
    

    

• 1 - 2(23)와 2 - 3(13)을 연결하면 1 - 3(25)을 연결하지 않아도 모든 노드가 연결되어있고 최소 비용을 가진다.

 

즉, 최소 신장 트리는 모든 노드가 서로 연결되어 이동이 가능하도록 만들되 최소한의 비용으로 전체 신장 트리를 구성하는 것을 의미한다.

 

크루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다.
• 그리디 알고리즘으로 분류된다.

 

1. 크루스칼 알고리즘의 동작 과정

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬합니다. (비용이 적은 간선부터 확인한다.)
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인합니다.
   • 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킵니다. (By Union-Find)
   • 사이클이 발생하는 경우, 최소 신장 트리에 포함시키지 않습니다. 
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

반응형

 

2. 크루스칼 알고리즘 소스 코드

1) 크루스칼 알고리즘 (Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a<b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
	a,b,cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
    	union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

2) 크루스칼 알고리즘 (Java)

import java.util.*;

class Edge implements Comparable<Edge> {

    private int distance;
    private int nodeA;
    private int nodeB;

    public Edge(int distance, int nodeA, int nodeB) {
        this.distance = distance;
        this.nodeA = nodeA;
        this.nodeB = nodeB;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }

    public int getNodeA() {
        return this.nodeA;
    }

    public int getNodeB() {
        return this.nodeB;
    }

    // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
    @Override
    public int compareTo(Edge other) {
        if (this.distance < other.distance) {
            return -1;
        }
        return 1;
    }
}

public class Main {

    // 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int v, e;
    public static int[] parent = new int[100001]; // 부모 테이블 초기화하기
    // 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
    public static ArrayList<Edge> edges = new ArrayList<>();
    public static int result = 0;

    // 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    public static int findParent(int x) {
        // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if (x == parent[x]) return x;
        return parent[x] = findParent(parent[x]);
    }

    // 두 원소가 속한 집합을 합치기
    public static void unionParent(int a, int b) {
        a = findParent(a);
        b = findParent(b);
        if (a < b) parent[b] = a;
        else parent[a] = b;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        v = sc.nextInt();
        e = sc.nextInt();

        // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        // 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int cost = sc.nextInt();
            edges.add(new Edge(cost, a, b));
        }

        // 간선을 비용순으로 정렬
        Collections.sort(edges);

        // 간선을 하나씩 확인하며
        for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
            int cost = edges.get(i).getDistance();
            int a = edges.get(i).getNodeA();
            int b = edges.get(i).getNodeB();
            // 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
            if (findParent(a) != findParent(b)) {
                unionParent(a, b);
                result += cost;
            }
        }

        System.out.println(result);
    }
}

 

3. 크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
• 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선에 대해서 정령을 수행하는 부분이다.
  • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)이다.

 

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참고자료
https://esoongan.tistory.com/78

https://velog.io/@yeahxne/%EC%9D%B4%EC%BD%94%ED%85%8C-2021-16.-%ED%81%AC%EB%A3%A8%EC%8A%A4%EC%B9%BC-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98

https://www.youtube.com/watch?v=Gj7s-Nrt1xE